Mindlin-Reissner板モデル¶

このブリック要素は等方性プレート用の古典的なMindlin-Reissner曲げモデルを実装しています．

Mindlin-Reissner板モデル¶

$\Omega \subset \rm I\hspace{-0.15em}R^2$ は厚さ $\epsilon$ のプレートの中間面の基準配置です．

等方性材料のMindlin-Reissnerモデルの弱定式化は以下のように書くことができます．ここで $u_3$ は横方向の変位であり， $\theta$ は中間面に垂直なファイバーの回転です．

\[\begin{split}& \int_{\Omega} D \epsilon^3\left((1-v)\gamma(\theta):\gamma(\psi) + \nu \mbox{div}(\theta)\mbox{div}(\psi)\right) dx \\ & ~~~~~~~~~~~~~~ + \int_{\Omega}G\epsilon (\nabla u_3 - \theta)\cdot(\nabla v_3 - \psi)dx = \int_{\Omega} F_3v_3 + M.\psi dx,\end{split}\]

すべての許容可能な試験関数について $v_3 : \Omega \rightarrow \rm I\hspace{-0.15em}R,$ $\psi : \Omega \rightarrow \rm I\hspace{-0.15em}R^2$ です．また，ここで:

\[\begin{split}& D = \dfrac{E}{12(1-\nu^2)}, ~~ G = \dfrac{E\kappa}{2(1+\nu)}, \\ & \gamma(\theta) = (\nabla \theta + \nabla \theta^T)/2, \\ & F_3 = \int_{-\epsilon/2}^{\epsilon/2} f_3dx_3 + g_3^+ + g_3^-, \\ & M_{\alpha} = \epsilon(g^+_{\alpha} - g^-_{\alpha})/2 + \int_{-\epsilon/2}^{\epsilon/2} x_3 f_{\alpha}dx_3, \alpha \in \{1, 2\},\end{split}\]

$f$ は3次元板の内部に加えられる体積力であり， $g^+$ と $g^-$ は板の上面と底面に加えられる力です． $E$ はYoung率， $\nu$ Poisson比そして $\kappa$ はせん断補正係数（通常5/6に設定）です．

古典的な境界条件は次のとおりです．

単純支持： $u_3$ 上のDirichlet条件．

固定支持: $u_3$ と $\theta$ のDirichlet条件．

既定の横力： $u_3$ 上の境界ソース項．

既定のモーメント： $\ theta$ 上の境界源項．

このモデルの重要な問題は，直接的Galerkin法が満足できる近似を与えないため，いわゆるせん断ロッキングが発生することです．せん断ロッキングの問題を回避するには，積分の低減・横方向のせん断項の投影・混合方法があります．2つの高速な方法が提案されています．

横断せん断項の積分を減少させる¶

この方法では単に下位の積分法を使用して数値的に計算します．

\[\int_{\Omega}G\epsilon (\nabla u_3 - \theta)\cdot(\nabla v_3 - \psi)dx\]

この戦略は少なくとも回転変位と横変位の両方を選択的1次低減積分法を用いたQ14辺形要素（いわゆるQUAD4要素）で近似するとき適切に機能します．

横断方向せん断項の射影¶

もう1つの方法はいくつかの混合方法の投影の再解釈に対応するMITC要素（テンソリアル成分の混合補間）に由来します．このタイプの最も汎用的な要素は回転度の低いRaviart-Thomas要素（RT0）の横断方向せん断項の投影を伴う4辺形要素Q1に対応するMITC4です（ [ba-dv1985] , [br-ba-fo1989] を参照）．横せん断項は次の通りです．

\[\int_{\Omega}G\epsilon P^h(\nabla u_3 - \theta)\cdot P^h(\nabla v_3 - \psi)dx\]

ここで， $P^h(T)$ は回転されたRT0空間上の要素の大きさ $L^2$ -投影です．現時点では，実装されている唯一のプロジェクションは，前に説明したものです（4角形要素の回転RT0空間上の投影）．より高度の要素と3角形の要素はライブラリで見つけることができます（ [Mi-Zh2002], [br-ba-fo1989], [Duan2014] を参照）．また，以下のことに注意してください． $P^h(\nabla u_3) = \nabla u_3$ であるため，項は

\[\int_{\Omega}G\epsilon (\nabla u_3 - P^h(\theta))\cdot(\nabla v_3 - P^h(\psi))dx\]

に減らすことができることに留意してください．GWFL，汎用弱形式言語の記述であれば基本的な要素投影の定義の原則が説明されています（初等変換を参照）．また例はファイル src/getfem_linearized_plates.cc にあります．